Benvenuti nell'era dei ritorni decrescenti


domenica 7 marzo 2010

Clima: correlazione e causazione

 

Un colloide è una miscela dove una sostanza è finemente dispersa in un altra. In molti casi, si tratta di sostanze organiche disperse in acqua. Anche noi esseri umani siamo, sostanzialmente, dei colloidi. Questo ha fatto venire l'idea a qualcuno che studiando i colloidi si possa trovare qualche correlazione fra cose come l'attività solare e il comportamento umano. Tuttavia, questa idea per ora non ha portato a niente di utile. In questo post, ne discuto le ragioni partendo dalla storia del Prof. Giorgio Piccardi che su questa idea ci ha studiato sopra una vita.


Quando mi iscrissi a Chimica, nel 1971, Giorgio Piccardi, ex direttore dell'Istituto di Chimica Fisica, era già molto anziano e morì l'anno dopo. Non l'ho mai incontrato di persona, ma la sua presenza si sentiva ancora in facoltà e c'era chi continuava i suoi esperimenti.

Piccardi lo avevano chiamato "il chimico del sole". Aveva ragionato che noi tutti, esseri umani, siamo materia allo stato colloidale. Allora, perchè non studiare dei modelli di materia colloidale e vedere se ci sono effetti del sole, dei raggi cosmici, o di qualche altra cosa? Questi lui li chiamava "fenomeni fluttuanti"

Così, il lavoro di Piccardi per tanti anni fu di preparare tutti i giorni dei colloidi. Ogni colloide era una specie di nuvoletta di materia che fluttuava in una provetta. Lui osservava diligentemente come questa nuvoletta si comportava. Poi, confrontava quello che aveva visto con le macchie solari, la posizione della terra nella sua orbita e addirittura relativa alla galassia. Da questo, pensava di poter trovare delle correlazioni con certi eventi: guerre, civiltà e imperi, e cose del genere.

E' stato un lavoro lungo e tedioso che è durato decenni e che è proseguito per un po' anche dopo la morte di Piccardi. Mi ricordo di aver conosciuto il tecnico che lavorava con lui. Su questo soggetto ci era invecchiato sopra e continuava ancora ogni tanto a far precipitare un colloide e ad annotarne le proprietà. Quando lui andò in pensione, qualche anno dopo, di fenomeni fluttuanti non si parlò più in facoltà.

Gli anni sono passati, i dati raccolti da Piccardi devono essere ancora da qualche parte, in qualche raccoglitore polveroso. Ci sono ancora i suoi articoli pubblicati su varie riviste, probabilmente ancora disponibili negli scaffali delle biblioteche. Ma nessuno ha continuato il lavoro di Piccardi e nessuno è riuscito ad andare oltre qualche ipotesi di correlazione che però non è riuscito a confermare.

Quando ero studente, e anche dopo, il lavoro di Piccardi mi era parso affascinante e mi era parso anche che, magari, qualcuno avrebbe dovuto continuarlo. Ma, con gli anni e con più esperienza, mi sono accorto che quello di Piccardi non era l'approccio giusto. Non per dir male di uno scienziato di valore che aveva fatto del suo meglio; ma oggi ne sappiamo tanto di più su quelli che lui chiamava "fenomeni fluttuanti" e che oggi tendiamo a chiamare, più normalmente "fenomeni complessi". Ai tempi di Piccardi, di queste cose si sapeva ancora poco e non c'è da meravigliarsi se il suo approccio oggi lo vediamo come completamente obsoleto.

Piccardi aveva localizzato un'area di grande interesse, ma non era mai riuscito ad andare oltre la pura ricerca di correlazioni. Ma in questo modo non si riesce veramente ad andare a capire un sistema complesso. Non ci possiamo aspettare di trovare un'equazione o una correlazione semplice che descriva il sistema; per riuscirci dobbiamo arrivare al nocciolo, descriverne la fisica. Nei sistemi complessi troveremo sempre un comportamento complesso e i nostri sistemi di equazioni si troveranno spesso in difficoltà a descrivere l'andamento di qualcosa che evolve con grande rapidità; ha delle vere e proprie transizioni di fase. Ma, perlomeno, non perderemo mai di vista la fisica - per quanto possa essere complesso un sistema, deve pur sempre obbedire ai principi di base: la conservazione dell'energia, per esempio.

Per spiegarmi meglio, sarà bene che vi faccia un esempio pratico. Pensate al sistema climatico terrestre. Per descriverlo, ci vogliono modelli complessi e non lineari che tengono conto delle interazioni fisiche fra i vari elementi del sistema. Tuttavia, c'è chi non ama i modelli complessi. In un certo senso, li si possono anche capire: non sarebbe bello se esistesse una "equazione del clima" che sta in una sola riga e che ti spiega tutto senza bisogno di modelli complicati? O magari, una correlazione semplice: una periodicità che dipende dalle macchie solari, dal moto della terra nella galassia, dalla posizione della costellazione del Capricorno, o da qualche altra cosa. Purtroppo, non funziona così.

La tentazione di semplificare per forza sistemi che non possono essere semplificati la ritrovate nel tentativo che molti hanno fatto di correlare il riscaldamento globale che osserviamo con l'attività solare. L'idea è che si prende qualche parametro solare che varia: irradiazione, macchie solari, vento solare o altro. Si va a vedere come varia e si confronta con la variazione della temperatura terrestre. Se le due curve si somigliano, uno potrebbe essere tentato di dire che la variazione della temperatura terrestre è causata dalla variazione dell'attività solare.

Vi faccio un esempio di questa correlazione. Per qualche tempo è andato molto di moda su internet far vedere questo grafico che correla l'andamento delle macchie solari con la variazione di temperatura ("anomalia") sulla terra.




Sembra perfetto, vero? E c'è ancora chi continua a farlo girare su internet e a ragionarci sopra. Ma notate dove si ferma il grafico: al 1990, circa. Che cosa è successo in vent'anni da allora? Beh, ecco qui i dati fino al 2007 (da questo link, fra le altre cose un articoletto interessante):



Allora, vedete il problema? Fino al 1990, la correlazione c'era - più o meno -  poi è andata, come si suol dire, a trovare qualche signora dai facili costumi. Non è il solo esempio, ce ne sono molti altri. Chi è esperto di statistica cade spesso nella trappola di massaggiare i dati fino a trovare un buon coefficiente di correlazione fra la temperatura terrestre e qualche altro parametro (macchie solari, raggi cosmici, misura delle scarpe dei carpentieri afgani o che altro). E' facile; ed è anche una trappola mortale. 

Io credo che l'esempio delle macchie solari sia fondamentale per capire come la correlazione non indichi necessariamente causazione. Anche se la correlazione fra macchie e temperatura fosse continuata fino ad oggi, per sostenere che il riscaldamento terrestre è causato dalle macchie solari bisogna che in qualche modo si spieghi il meccanismo fisico che sta dietro alla faccenda. E qui non ci siamo proprio. Mi sono letto svariati articoli di autori che sostengono questa correlazione, ma quando siamo a parlare delle cause fisiche, le spiegazioni sono molto vaghe e carenti se non evidentemente sbagliate. Le macchie solari sono cose molto interessanti, ma qui si tratta di spiegare come fanno a riscaldare un intero pianeta e, per quanto uno possa arzigogolare, la cosa non è ovvia.

Se ci pensate sopra un attimo, in effetti, ci sono molti che cercano di prendere questo approccio per interpretare il riscaldamento globale, ovvero cercare una correlazione e da li inferire una causazione. Basti pensare a tutti quelli che parlano dei "pianeti che si scaldano." Se Giove - per esempio - si scalda e se anche la terra si scalda, questa la posso considerare una correlazione. Da qui si può essere tentati di inferire una causazione: ovvero che la causa in entrambe i casi è il sole. A parte che non è neanche vero che esiste questa correlazione, l'interpretazione rimane scorretta in mancanza di qualche prova che ci dica che in che modo il sole sta scaldando sia Giove come la Terra. Questa di cercare solo correlazioni statistiche è un approccio che non ha portato a niente al tempo di Piccardi e che - molto probabilmente - non ci porterà in nessun posto nemmeno oggi.



Un articolo che da maggiori dettagli sull'attività di Giorgio Piccardi si trova a questo link.

26 commenti:

  1. interessante spunto di riflessione.
    Volevo domandarle cosa ne pensa del modello di studio di climateprediction.net, se lo conosce. Un progetto a cui affido ore della mia cpu quando inattiva per una sorta di "volontariato facile" nello studio dei meccanismi climatici che io personalmente ignoro non essendomi realmente documentato. In merito al suo articolo, qui vengono proposti dei modelli con variabili arbitrarie e lasciati "correre" nel tempo per vedere se effettivamente l'evoluzione proposta dal modello di partenza corrisponda a quella reale.
    Grazie!
    -Federico

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  2. Molto bello, grazie.

    La mancanza o la debolezza di una teoria fisica per molte delle tesi negazioniste, è una delle evidenze che esprimo più spesso quando mi capita di discutere dell'argomento.

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  3. Federico, grazie per la segnalazione. Mi sono iscritto anch'io al sito che segnali - purtroppo ho qualche problema con il software BOINC - c'è qualcosa che non va con la mia scheda grafica. Ci riprovo con calma ma, a parte questo problema, mi sembra che questi stiano facendo delle cose estremamente interessanti. Io non sono specialista di modelli climatici, ma ne capisco il fascino e l'interesse.

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  4. Articolo interessante... pieno di belle parole.
    Ma fatto al singolare e senza accorgersi che si commettono gli stessi errori che si attribuiscono agli altri!

    Mi spiego...

    «Io credo che l'esempio delle macchie solari sia fondamentale per capire come la correlazione non indichi necessariamente causazione. Anche se la correlazione fra macchie e temperatura fosse continuata fino ad oggi, per sostenere che il riscaldamento terrestre è causato dalle macchie solari bisogna che in qualche modo si spieghi il meccanismo fisico che sta dietro alla faccenda.»

    Nella teoria del Global Warming Antropogenico, si correla l'aumento della concentrazione di CO2 nell'aria all'aumento della temperatura terrestre... e si attribuisce la causa alle attivita' degli esseri umani. Senza minimamente preoccuparsi di andare a controllare se ci potrebbero essere altre cause oltre all'uomo (negli ultimi mesi si scopre che: a) la nuvolosita' non e' stata mai considerata; b) l'aumento della quantita' di metano nell'aria e nell'acqua non e' mai stato considerato; c) l'aumento dei raggi cosmici non e' mai stato considerato; d) la diminuzione dell'irradianza solare, dovuta alla ridotta attivita' solare degli ultimi anni, non e' mai stata considerata...).

    Ora, visto che Ugo Bardi afferma di essere un professore di Chimica, potrebbe anche allietarci con un interessante articolo nel quale spiega, passo dopo passo, come fa la CO2 a far aumentare la temperatura sulla Terra se l'energia apportata al sistema dall'attivita' solare e' in diminuzione.

    Purtroppo io sono ignorante...
    ...e sono abituato a vedere le serie storiche... che ci dicono che quando l'attivita' solare diminuisce, la temperatura sulla Terra scende.... e viceversa. E quando un ciclo solare undecennale abortisce (SC24) sono cavoli amari per tutti... perche' per molti anni la temperatura terrestre continua a scendere. Questa oltre che essere FISICA, e' anche STORIA.

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  5. Caro PGG, dici proprio bene: sei ignorante. Ma ignorante parecchio. Ti ho passato questo commento perchè lo ritengo utile per far vedere a chi legge come tanta gente parla di clima senza aver la minima idea di quello di cui parla. Ora, torna indietro, leggiti l'ultimo rapporto dell'IPCC oppure vai a consultare il sito di climalteranti e vedrai che non è vero nulla di quello che hai detto. Ma proprio nulla - è tutto il contrario di quello che dici.

    Direi istruttivo questo tuo commento. Te lo passo, appunto, in via eccezionale.

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  6. Notate che ho passato il commento di PGG nonostante l'insulto che mi rivolge, quello di essere un impostore ("afferma di essere un professore di Chimica"). Come risposta, PGG mi manda un altro commento dove mi accusa di essere un criminale (non solo io, ma tutti quelli che sostengono l'idea dell'origine umana del riscaldamento globale). Questo, con permesso, non lo passo; ma lo menziono, anche questo come ulteriore prova di come sia valida la regola che chi non ha argomenti non può far altro che ricorrere agli insulti.

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  7. Oggi rileggevo un articolo apparso su "La Chimica e l'Industria", in cui si fa appunto un'analisi di correlazione tra la velocità (assoluta) del Sole rispetto al baricentro del Sistema Solare ed il clima sulla Terra.

    L'approccio è sostanzialmente quello: si cerca qualcosa che correli, e si attribuisce a questa correlazione una causazione. Ma la lista di cose che non tornano è veramente enorme. Perché la velocità assoluta (la velocità è un vettore, conta anche la direzione), e non la posizione, o l'accelerazione. Come mai non si considera invece la forza mareale dei pianeti sul Sole, che almeno avrebbe il vantaggio di avere un significato fisico (la relatività generale ci assicura che se un corpo è in caduta libera la sua velocità o la sua accelerazione non ne modificano lo stato, si muove tutto insieme). E poi come vengono calcolati i periodi che "coincidono", che significatività ha l'eventuale coincidenza (che probabilità ho di ottenere quei numeri confrontando le estrazioni del lotto invece che le temperature).

    Sto provando a farci qualche conto serio, vediamo cosa ne esce.

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  8. Per calcolare se esiste una relazione fra due eventi esiste in Statistica tutta una letteratura con formule complesse. Questo perché il solo grafico (come insegnano alle scuole) può trarre in inganno, anche perché si possono fare grafici di diverso tipo es: Con diversa scala dei valori.

    Il guaio è che la correlazione è agganciata ma i suoi valori sono influenzati da tanti di quei fattori (la matematica del Caos, dice che basta un decimale su un solo elemento per "sballare" un calcolo) che in realtà questa correlazione è solo di "fondo" ma non è quella che implica un aumento/diminuzione.

    Per fare un esempio mettiamo due pentole sul fuoco, ognuno di noi, istintivamente (non ragionando) direbbe che la pentola sul fuoco più grosso è quella che bollirà prima ... Errato! Infatti bisogna calcolare anche la quantità d'acqua, se esiste un coperchio, la distanza dal fuoco, ecc.. Tutti dati che sballerebbero questa istintiva predizione.

    Immessi i vari dati possiamo quindi avere la formula che più causa e avvicina alla correlazione. Cosicché solo accostando i dati sulla CO2 possiamo vedere una correlazione con l'aumento della temperatura della terra.


    Ciao da mauriziodaniello

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  9. Non ti curar di lor, ma guarda e passa

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  10. qualche giorno fa in una trasmissione umoristica radiofonica facevano una finta intervista ad una sedicente ricercatrice scientifica. il tema era la correlazione tra il fumo e la salute.
    la ricercatrice dice: "abbiamo fatto un esperimento interessante: abbiamo diviso un campione di persone in 5 gruppi. al primo gruppo per 10 anni abbiamo fatto fumare ogni giorno una sigaretta, al secondo gruppo ogni giorno per 10 anni 3 sigarette, al terzo gruppo 5 sigarette, al quarto gruppo 80 sigarette, sempre al giorno per 10 anni, e all'ultimo gruppo 100 sigarette."
    "e cosa avete concluso?"
    "i risultati sono incredibili: abbiamo scoperto che chi fuma ogni giorno un numero di sigarette dispari gode di una salute migliore di chi fuma un numero di sigarette pari."

    da allora racconto spesso questa storiella a chi mi propina spiegazioni assurde per giustificarmi che il riscaldamento globale non c'è, e se c'è non è per causa umana, che il petrolio è inesauribile, che il pil può salire all'infinito, eccetera eccetera.

    ciao, Stefano.

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  11. Questa delicata associazione tra causa e correlazione è ben nota in medicina, visto che gli studi di correlazione sono praticamente alla base della ricerca clinica. Qui viene discussa molto bene:

    Evidence in Medicine: Correlation and Causation

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  12. Questi climatologi ignoranti ed avidi, non capiscono proprio nulla. Adesso vi spiego io, che sono biologo, come funziona 'sta storia del clima.

    Data la chiarissima correlazione mostrata qui sopra è del tutto evidente che è il GW terrestre ad influenzare il ciclo delle macchie solari, e siccome è evidente che la terra si sta raffreddando, questo spiega il minimo di attività solare dal 90 ad oggi. Siamo noi a raffreddare il sole, assorbendone il suo calore! Più ci raffreddiamo e più energia sottraiamo al sole. Viceversa più ci scaldiamo e meno calore perde il sole e quindi aumenta la sua attività.

    A questo punto non mi rimane che dare un nome a questo nuovo fenomeno. Lo chiamerò Earth-solar sheep effect, o in lingua volgare, effetto pecora terrestre-solare; dalla lana ovviamente, che aiuta a mantenere il calore.

    +++

    OK, per gli scettici che ci leggono, non aggiungete questo alla vostra lista di argomentazioni contro il GW, stavo solo scherzando. Ripeto, era solo una battuta, l'effetto pecora esiste, ma non riguarda il sole, quanto piuttosto l'andare dietro alle cazzate, purché ci sembrino convincenti e ci faccia comodo crederci.

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  13. Ho provato a fare due conti.

    La forza mareale sul Sole è singolarmente costante per i vari pianeti, in prima approssimazione la minore massa dei pianeti interni è compensata dalla loro maggiore vicinanza. Il pianeta che contribuisce di più è Venere,
    Marte e Saturno sono molto deboli (meno di 1/10 degli altri) e i pianeti più esterni sono invisibili.
    La risonanza tra Giove e Saturno a 60 anni che sarebbe l'effetto principale visibile nelle serie climatiche è 1/100 degli effetti diretti dei pianeti. L'effetto complessivo è qualcosa di ridicolo, le forze mareali che agiscono sugli strati esterni del Sole sono mezzo miliardesimo della forza di gravità locale.

    Filtrando la selva di risonanze ed armoniche dei pianeti interni, resta solo Giove, che però ha un periodo abbastanza diverso da quello del ciclo solare. Non si nota neppure una differenza tra i cicli che "tornano" con Giove e quelli che ne sarebbero "ostacolati".

    Ma ora basta divertirmi, riprendo a fare astronomia seria.....

    @Carlo Fusco:
    conosco abbastanza la statistica medica, e difatti il problema dell'analisi spettrale che viene fatta è che manca una valutazione della significatività, inclusi il "multiple comparison bias" (cercare tante ipotesi finché ne trovi una buona).

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  14. @Gianni Comoretto
    Non so a quale articolo si riferisca, però da quanto lei scrive, mi ricorda molto le ipotesi di Scafetta.
    Se è così, ad occhio anch'io ho ritenuto che le forze mareali siano estremamente deboli per influire sui comportamenti del sole, ed i suoi calcoli me lo confermano. Anche teorie simili, tipo quelle sul momento angolare dei due pianeti rispetto al sole, mi lasciano perplesso.
    Volevo chiederle però che ne pensa delle interazioni magnetiche tra i due giganti gassosi e il Sole. Qui mi sembra che i rapporti tra le forze in gioco sia più sostenibile.
    P.S.: Che c'entra che Giove ha un periodo diverso dal ciclo solare? Certo che è differente.

    @ugo bardi
    La mancanza di correlazione tra indice Ap e temperature dopo il '90 è ancora oggetto di discussione. In particolare c'è una piccola querelle tra dati ACRIM e PMOD (sono questi ultimi che mettono in evidenza lo scostamento).
    Ovviamente le macchie solari vengono usate in quanto grandezza (piuttosto) correlata con l'indice Ap. Ma quello che più conta è l'indice Ap.
    Agrimensore g.

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  15. Ho riportato i conti fatti sul mio blog

    http://giannicomoretto.blogspot.com/2010/03/sole-e-clima.html

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  16. Continuate ad effettuare singoli studi separatamente... come fossero tanti "contesti" differenti... uno diverso dall'altro. Invece questi studi andrebbero fatti tutti contemporaneamente...

    Il numero delle macchie solari, l'indice AP, la posizione dei singoli pianeti rispetto al Sole e quella del Sistema Solare sull'orbita galattica, ma anche l'età dell'universo (espressa in termini energetici di "fondo" e non come tempo), sono tutte variabili che interagiscono tra loro all'interno di un contesto che non e' rappresentato solo dal nostro piccolo pianeta azzurro... ma da un "qualcosa" che noi riusciamo solo a percepire con capacita' estremamente limitate e che, spesso, ne comprendiamo la grandezza solo come relativa conseguenza di influenze a noi ancora sconosciute.

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  17. @PGG
    Però: va bene emanciparci dal riduzionismo, ma buttarci a capofitto nell'olismo onnicomprensivo di stile newageiano mi sa tanto di nuova teoria del tutto che tutto fa tranne investigare il vero. Insomma: il Supermondo lasciamolo pure a chi l'ha inventato.

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  18. Steph,
    non e' questione di supermondo... ma di semplice ligica.
    Mi spiego: se devi analizzare un Contesto per capirne a fondo il funzionamento (teorico o pratico), devi analizzare e considerare tutti gli imput possibili.
    Questo devi farlo sempre. Puoi accettare una semplificazione, ma in questo caso non sarai mai sicuro del risultato finale.
    L'esempio lampante e' quello dell'influenza del sole sulla temperatura terrestre. Nei modelli viene considerata una costante. Sappiamo, dalle analisi di tutti i giorni, che questa costante varia notevolmente... anche se le variazioni sono a noi quasi impercettibili. In prima approssimazione puo' essere una semplificazione tutto sommato accettabile, ma siamo sicuri che non comporti variazioni rilevanti del risultato finale?

    Estendi questo ragionamento alle tante variabili non considerate perche' appositamente "semplificate" dagli scienziati ed ottieni tutta una serie di errori che potrebbero portarti ad ottenere risultati quasi totalmente sballati!

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  19. PGG, io ti passo i commenti quando non offendi nessuno esplicitamente. Però continui a offendere l'intelligenza di chi ti legge.

    Mi dici dove hai trovato che l'influenza del sole "viene considerata una costante" nei modelli? E dove hai trovato che "sappiamo dalle analisi di tutti i giorni che questa costante varia notevolmente"?

    Guarda che i modelli climatici tengono conto delle variazioni della costante solare che si misurano. E non esiste nessuna "analisi di tutti i giorni" che ci mostra che questa costante "varia notevolmente". Ma pensi proprio che i climatologi siano completamente imbecilli?

    Ma queste cose che dici, te le sogni la notte o te le racconta in un orecchio un passerotto? Insomma; non ci siamo proprio. Cerca di considerare che esiste anche una realtà la fuori.

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  20. Caro dott. Ugo Bardi, se avessi avuto lei all'università, probabilmente non l'avrei lasciata.

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  21. Gent.le prof Bardi, aldilà di tutto, volevo chiedere a lei o a chi mi sa rispondere se una ridotta e prolungata attività solare può in qualche modo pesare nel contesto del GW.

    Mi spiego: partendo dal presupposto di un effettivo riscaldamento globale, questo può essere per un certo periodo di tempo attenuato o addirittura subire una inversione di tendenza?

    Se la cosidetta PEG che vide il suo culmine attorno al 1600 è effettivamente la risultanza di una ridotta attivita solare, si può prendere in seria considerazione l'attuale bassa presenza di macchie solari?


    Pinnettu

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  22. Caro Pinnettu, certamente la variazione dell'attività solare ha effetto sul riscaldamento globale. Ma è un fattore secondario. Un articolo recente di Judith Lean (http://wires.wiley.com/WileyCDA/WiresArticle/wisId-WCC18.html) lo quantifica come sicuramente meno del 10% sul totale del riscaldamento. Probabilmente è intorno al 5%.

    Può darsi che il sole sia una delle cause del fatto che la crescita delle temperature ha un po' rallentato il ritmo negli ultimi anni. Ma c'è poco da illurdersi: se continuiamo a immettere CO2 nell'atmosfera alla fine l'effetto serra sovrasterà tutti gli altri effetti; cosa che in effetti sta già succedendo

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  23. Ah.... a proposito della piccola era glaciale, è possibile che sia stata dovuta a una fase di particolare debolezza del sole - il cosiddetto "minimo di Maunder". Se venisse fuori un'altro minimo del genere nel prossimo futuro, questo compenserebbe in parte, e per un po', il riscaldamento dovuto alla CO2. Ma c'è poco da sperarsi. Su queste cose, vale la pena di leggersi l'articolo di Lean - ha qualche difetto, ma è molto aggiornato

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  24. Ok.....grazie del chiarimento!

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  25. Gentile Prof. Ugo Bardi, la invito a prender parte alla discussione (che ormai ha preso proporzioni bibliche) sul forum di crisis, relativa al raffreddamento globale, avrei piacere di sentire la sua opinione in merito ad alcune posizioni dei "pro- raffreddamento globale"
    ecco il link:
    http://forum.crisis.blogosfere.it/viewtopic.php?f=8&t=42&start=1130

    cordiali saluti.

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